원분다항식의 두 가지 판결

§1 서론: Midy 분할의 계수 문제

전순환 소수(full reptend prime) p에 대해(즉, 10이 mod p의 원시근인 경우), 1/p의 순환 절 길이는 p−1이다. 순환 절을 d자리씩 한 그룹으로 분할하면(d가 p−1을 나누는 경우), 각 그룹의 합은 항상 10^d − 1의 배수이다 — 이것이 Midy 정리(1836)의 일반적 형태이다.

자연스러운 계수 문제가 뒤따른다: 전순환 소수 p에는 몇 가지 서로 다른 Midy 분할이 존재하는가? 답은 τ(p−1) − 2, 즉 p−1의 약수 개수에서 2를 뺀 것이다(자명한 1자리 분할과 전체 미분할을 제외). 예를 들어 p = 7의 주기 6은 약수 {1,2,3,6}이 4개이므로 2가지 비자명 Midy 분할을 가진다. p = 19의 주기 18은 약수가 6개이므로 4가지를 가진다.

처음 50,000개의 전순환 소수에 대한 컴퓨터 탐색은 뜻밖의 사실을 드러냈다: Midy 분할 수의 스펙트럼은 연속적이지 않다. 실제로 출현하는 분할 수 중, 5, 9, 11 등의 값은 영원히 결석한다. 이 결석은 데이터 부족이 아니다 — 수학적 불가능이다. 본 논문의 목표는 이 금지 구역의 존재를 증명하고, 그 근원을 원분다항식의 갈루아 이론까지 추적하며, 이 스펙트럼에서 페르마 소수가 수행하는 핵심적 역할을 밝히는 것이다.

§2 예비 지식

2.1 전순환 소수와 순환수

소수 p가 전순환 소수(full reptend prime)라 함은, (Z/pZ)×에서 10의 곱셈 위수(multiplicative order)가 p−1인 것, 즉 10이 mod p의 원시근(primitive root)인 것이다. 이때 1/p의 10진법 순환 절 길이는 p−1이며, 순환 절의 숫자들이 순환수(cyclic number)를 구성한다. 앞에 0을 허용하지 않으면, 142857(p=7에 대응)은 10진법에서 유일한 순환수이다. 앞에 0을 허용하면, 처음 몇 개의 순환수에 대응하는 소수는 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, …이다(OEIS A001913).

2.2 Midy 분할

p를 전순환 소수라 하고, 순환 절 길이를 e = p−1이라 하자. e의 각 약수 d(1 < d < e)에 대해 순환 절을 d자리씩 분할하면 e/d개의 그룹이 생기며, 각 그룹의 합은 10^d − 1의 배수이다. 위 조건을 만족하는 비자명 약수 d의 개수를 Midy 분할 수 M(p)로 정의한다:

여기서 τ는 약수 개수 함수이다.

2.3 원분다항식의 핵심 성질

다음의 표준적 사실들이 증명에 사용된다:

이 보조정리의 근원은 원분체 Q(ζ_{2n})/Q의 갈루아 군 (Z/2nZ)×의 구조에 있다. n = 2^k일 때, (Z/2^{k+1}Z)×는 위수 2^k의 순환군이며, Φ_{2^{k+1}}의 차수는 φ(2^{k+1}) = 2^k = n = deg(x^n+1)이므로, x^n+1은 정확히 Φ_{2^{k+1}}(x)와 같아 기약이다. n이 2의 거듭제곱이 아닐 때, φ(2n) < n이며, Φ_{2n}의 차수가 x^n+1의 전체 차수를 채우기에 부족하므로, x^n+1은 반드시 분해된다.

§3 정리 1: 금지 분할 정리

원분다항식의 언어로 다시 표현하면: q⁶ + 1은 x⁶ + 1을 x = q에서 계산한 값이다. x⁶ + 1은 Z[x] 위에서 가약이다(6이 2의 거듭제곱이 아니므로). 구체적 분해는:

원분다항식의 가약성이 q⁶ + 1에 직접 사형 선고를 내린다.

§4 정리 2: 페르마 통행증 정리

정리 1의 증명 방법은 일반화된다. τ(p−1)가 홀수 소수 r인 모든 Midy 분할 수 M(p)에 대해 동일한 논리가 적용된다 — p−1은 어떤 소수의 (r−1)제곱이어야 하며, p = q^(r−1) + 1의 소수성은 x^(r−1) + 1의 기약성에 달려 있다.

주의: τ가 합성수일 때(예: τ = 9 = 3²), p−1이 반드시 소수 거듭제곱일 필요가 없으므로, x^n+1의 가약성 장애를 우회할 수 있다. 예를 들어 M(p) = 7은 τ(p−1) = 9를 요구하며, p = 257은 p−1 = 256 = 2⁸, τ(256) = 9를 만족한다. 계산으로 ord(10, 257) = 256이 확인되어, 257이 전순환 소수임이 검증된다. M = 15의 경우가 특히 중요하다: τ = 17은 페르마 소수 F₃이며, p−1 = q¹⁶의 유일한 소수 후보는 p = 65537 = 2¹⁶+1(페르마 소수 F₄)이다. 계산으로 ord(10, 65537) = 65536 = p−1이 확인되어, 65537이 base-10 전순환 소수이고 M(65537) = 15가 실제로 존재함이 입증된다.

§5 정리 3: 원분 폐환 정리

앞의 두 정리는 놀라운 통일성을 드러낸다: 142857의 존재와 Midy 분할의 금지 구역이 같은 이론의 같은 판별 기준에 의해 제어된다.

§6 계산 검증

6.1 원시근 검증

정리 2(b)의 충분 방향은 비대수적 조건에 의존한다: 10이 대응하는 페르마 소수의 원시근인지 여부. 다음은 전수 계산 결과이다:

F₀ = 3과 F₁ = 5는 해당 사항 없다: 3은 너무 작고(10 ≡ 1 mod 3, 위수 1), 5는 10을 나눈다. 그러나 F₂, F₃, F₄에 대응하는 세 전순환 소수 17, 257, 65537 모두에서 10은 원시근이다. 이것은 정리 2의 충분 방향이 검증 가능한 모든 비자명 사례에서 확인되었음을 의미한다.

6.2 분할 스펙트럼 전수 조사

100,000 이하의 모든 3,617개 전순환 소수에 대한 전수 계산으로 다음 사실을 검증했다:

금지 구역의 위치는 정리의 예측과 정확히 일치한다: 5(τ=7, 페르마 아님), 9(τ=11, 페르마 아님), 11(τ=13, 페르마 아님)이 모두 결석한다. 반면 τ가 합성수인 위치(2, 4, 6, 7, 8, 10, …)에는 모두 전순환 소수 실례가 존재하는데, 합성수 τ는 p−1에 다양한 인수분해 형태를 허용하여, x^n+1의 가약성 제한을 받지 않기 때문이다.

§7 기존 미해결 문제와의 연결

7.1 아르틴 추측

142857에는 무한히 많은 형제가 있는가? 이것은 전순환 소수가 무한히 많이 존재하는가와 동치이다. 이것이 바로 아르틴 원시근 추측(1927)이며, 여전히 미해결 문제이다. 훌리(Hooley, 1967)가 일반화된 리만 가설(GRH) 하에서 조건부 증명을 제시했다. 히스-브라운(Heath-Brown, 1986)은 2, 3, 5 중 적어도 하나가 무한히 많은 소수의 원시근임을 증명했다. 아르틴 추측이 참이라면, 전순환 소수가 전체 소수에서 차지하는 비율은 약 아르틴 상수 A ≈ 0.3739558136이다.

7.2 페르마 소수 추측

알려진 페르마 소수는 다섯 개뿐이다: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537. 여섯 번째 페르마 소수가 존재하는지는 유명한 미해결 문제이다. 정리 2에 의하면, 더 이상의 페르마 소수가 존재하지 않는다면, Midy 분할 스펙트럼의 “순수 채널”(τ가 홀수 소수인 경우)은 τ ∈ {3, 5, 17, 257, 65537}의 다섯 개로 한정되며 — 이에 대응하는 Midy 분할 수는 1, 3, 15, 255, 65535이다. 나머지 τ가 홀수 소수인 모든 위치는 영구적으로 금지 구역이 된다.

7.3 두 추측의 교차

아르틴 추측은 Midy 분할 스펙트럼의 “너비”(얼마나 많은 전순환 소수가 존재하는가)를 결정하고, 페르마 소수 추측은 스펙트럼의 “구조”(어떤 분할 수가 허용되는가)를 결정한다. 두 추측은 모두 원분체의 산술적 구조에 관한 하위 문제이며, Midy 분할의 프레임워크 안에서 처음으로 교차점을 형성한다.

§8 논의 및 한계

8.1 정리 체계의 정확한 경계

정리 1~3이 기술하는 금지 구역은 하나의 특정 논리적 경로에서 비롯된다: τ(p−1)가 홀수 소수 r → p−1 = q^(r−1) → x^(r−1)+1의 가약성. 이 경로는 Midy 분할 스펙트럼에서 하나의 계열의 영구적 금지 구역을 제공한다. 그러나 이것이 전체 금지 구역의 완전한 기술은 아니다.

구체적으로, 다음 문제가 여전히 미해결이다:

100,000 이하의 계산 탐색에서, τ가 합성수인 모든 M 값에 전순환 소수 실례가 존재한다. 그러나 전수 조사 범위가 유한하므로, 더 큰 범위에서 새로운 “합성수 τ 금지 구역”이 출현할 가능성을 배제할 수 없다. 그러한 금지 구역(존재한다면)은 완전히 다른 증명 방법을 요구할 것이다 — τ가 합성수일 때 p−1의 인수분해 형태가 유일하지 않으므로, x^n+1의 가약성이 유일한 장애가 아니기 때문이다.

8.2 정리 2(b)의 조건 강도

정리 2(b)의 충분 방향은 두 겹의 조건을 포함한다: 대수적 조건(x^(r−1)+1이 기약)과 산술적 조건(10이 실제로 mod p의 원시근). 전자는 증명이고, 후자는 현재 계산 검증이다. F₂ = 5, F₃ = 17, F₄ = 65537의 검증 가능한 세 사례에서 산술적 조건은 모두 성립한다. 그러나 다음 문제가 여전히 미해결이다:

8.3 진법 의존성

본 논문의 모든 결과는 10진법(base 10)에 한정된다. 다른 진법 b에서 전순환 소수의 정의는 “b가 mod p의 원시근”으로 바뀌며, Midy 분할의 구조도 그에 따라 변한다. 정리 1의 증명 프레임워크(τ가 소수 → p−1이 소수 거듭제곱 → 세제곱합/고차합 분해)는 진법과 무관하며 직접 일반화 가능하다. 그러나 구체적인 금지 구역의 위치는 진법에 따라 달라질 것이다 — “b가 mod p의 원시근”이라는 조건이 b에 의존하기 때문이다.

8.4 갈루아 가해성과의 관계

본 논문의 자매 논문 《142857과 갈루아 이론》은 142857의 Midy 분할이 (Z/7Z)×의 부분군 구조에 대응하며, 부분군 격자의 분해 가능성이 갈루아 가해성에 대응함을 논증했다. 본 논문은 한 걸음 더 나아가 다음을 보인다: Midy 분할의 금지 구역 역시 갈루아 이론에 의해 제어된다 — 금지 구역은 원분다항식의 가약성에서 비롯되고, 가약성은 원분체의 갈루아 군 구조에서 비롯된다. 두 논문은 함께 완전한 그림을 구성한다: 갈루아 이론은 무엇이 존재하는지와 무엇이 존재하지 않는지를 모두 결정한다.

§9 결론

본 논문은 세 가지 정리를 증명하여, 초등적 계수 문제(Midy 분할은 몇 가지인가?)를 원분다항식의 갈루아 이론까지 추적하고, 이 스펙트럼에서 페르마 소수의 핵심적 역할을 밝혔다.

여섯 자리 숫자의 긴 나눗셈에서 출발하여, Midy 분할의 계수, 원분다항식의 인수분해, 갈루아 군의 기약성 판별 기준을 거쳐, 최종적으로 가우스의 정십칠각형과 페르마 소수의 미해결 추측에 도달하는 — 이 완전한 경로는 이전에 한 번도 명시적으로 완주된 적이 없다. 모든 부품은 알려져 있다. 공헌은 최초의 조립 완성에 있다. 본 논문은 동시에 정리 체계의 정확한 경계를 표기한다: τ가 합성수일 때의 금지 구역 기술과 아르틴 추측 및 페르마 소수의 산술적 교차는 모두 미해결 문제로 남긴다.